Hardware zur analogen Regelung – Filter UAF42 #2 : Auswertung und Simulation des UAF42-Filters

Hallo Zusammen,

Ein bisschen Theorie zu den Filtern sowie die Definition und Informationen zum UAF42-Filter  wurden in meinem ersten Beitrag kurz vorgestellt. Nun  geht es in diesem Beitrag um die Herleitung der Übertragungsfunktionen des UAF42-Filters, diese sollen mithilfe MATLAB ausgewertet werden. Zur Überprüfung der Auswertung wird das UAF42-Filter noch einmal durch einen Schaltungsentwurf in LTspice simuliert. Hierzu werden gleiche Ergebnisse der Auswertung und Simulation erwartet.

Wenn man im Datenblatt von dem UAF42-Filter rein schaut, findet man wenige Informationen zu den allgemeinen Übertragungsfunktionen, die bereits darin zu finden sind. Daher werden die Übertragungunsfunktionen des Tiefpasses, Hochpasses und Bandpasses in diesem Post Schritt für Schritt hergeleitet.

Herleitung der Übertragungsfunktionen

Die Übertargungsfunktionen sind an dieser Stelle sehr wichtig für die Charakterisierung, denn nur mit diesen kann man genauer das UAF42-Filter zu einer gewünschten analogen Regelung dimensionieren.  Durch Übertargungsfunktionnen weißt man auch genau, welche Bauteile zum Bsp. den Amplitude (Verstärkung), Grenzfrequenz oder Dämplung beeinflussen können, und so lässt sich  die Amplitude, die Grenzfrequenz oder die Dämpfung je nach Anwendungswunsch gezielt und schnell verändern.

Zur Herleitung der Übertragungsfunktionen sind zwei verschiedenen Schaltungen im Datenblatt vorhanden. Eine wird als invertiertes Polpaar bezeichnet und die andere als nicht-invertiertes Polpaar. Bei invertiertem Polpaar ist die Eingangsspannung (VIN) an dem Minus-Anschluss des ersten Operationsverstärkers (A1) angeschlossen und bei nicht-invertiertem Polpaar  ist das Gegenteil .

Es ist im Prinzip egal, welche man zur Berechnung der Übertragungsfunktionen nimmt. Ich habe das invertierte Polpaar (folgende Schaltung) gewählt.

invertiertes_Polpaar_Schaltung
Abbildung 1: Invertierte Polpaar-Schaltung

Die Widerstände und Kondensatoren, die sich im Rechteck (siehe Abb. 1) befinden, haben festen Werte zugewiesen bekommen und man kann sie nicht mehr ändern bzw. dimensionieren, außer wenn man zum Bsp. einen Kondensator zu C1 oder C2 parallel geschaltet hat, bekommt man einen neuen gesamten Wert dazu. Das gilt ebenfalls zu den Widerständen.

Die Widerstände, die sich außerhalb des Rechtecks (Rg, Rq, Rf1 und Rf2) befinden, sind variabel. Es bedeutet, sie können zu der gewünschten Anwendung angepasst werden.

Die Schaltung (Abb. 1) ist mit den Strömen und Spannungen in Abbildung 2 dargestellt, um sie für die Herleitung der Übertragungsfunktionen zu nutzen.:

Umzeichnung_invertiertes_Polpaar
Abbildung 2: Die Schaltungsumzeichnung des UAF42

Bei der Schaltung (Abb. 2) erfolgt die Einstellung der Güte durch Rückkopplung der Bandpassspannung in den nicht-invertierenden Eingang von A1 (OPV1). Zur Berechnung der Filterfunktion kann man der Schaltung für jeden Operationsverstärker die Ausgangsspannung entnehmen.

Die Herleitung der Übertragungsfunktionen ist von Schitt 1 bis Schritt 6 zusammengefasst.

Schritt 1:

Für den ersten Operationsverstärker (A1) bekommt man folgende Ausgangsspanungsgleichung:

Knotenregel wird hier angewandt, bei dem Summationspunkt gilt:

Gleichung1      (3.4)

 

Dann durch Maschenregel kann man die Spannungen wie folgt berechnen:

Unbenannt2(3.5)

Unbenannt3(3.6)

Unbenannt4(3.7)

 

Durch Spannungsteiler-Regel bekommt man die Spannung UQ:
Unbenannt20 (3.8)

Durch Einsetzten von (3.5, 3.6, 3.7, 3.8) in (3.4) erhält man folgendes:
Unbenannt21(3.9)

Schritt 2:

Für den zweiten Operationsverstärker (A2) erhält man nochmal durch Knoten- und Maschenregel folgende Ausgangsspanungsgleichung:

Unbenannt22

Um unsere Rechnung zu vereinfachen, ersetzen wir „jω“ mit dem komplexen Frequenzparameter „s“:

Unbenannt23(3.10)

Schritt 3:

Für den dritten Operationsverstärker (A3) erhält man ebenfalls durch Knoten- und Maschenregel folgende Ausgangsspanungsgleichung:

Unbenannt24(3.11)

Schritt 4:

(3.10) und (3.11) werden jetzt in (3.9) eingesetzt und vereinfacht, bis man auf die Gleichung kommt, wo die Hochpass-Ausgangsspannung UHp in Abhängigkeit von Eingangsspannung UE ist.

Ich habe in diesem Schritt viele zwischen Rechnungen übersprungen aber die letztendliche Hochpass-Übertragungsfunktion lautet:

Unbenannt25(3.12)

Schritt 5:

Da die Hochpass-Spannung in Abhängigkeit von der Eingangsspannung bestimmt wurde, kann man sie in Bandpass-Übertragungsfunktion (3.10) einsetzten und somit bekommt man folgende Bandpass-Übertragungsfunktion:

Unbenannt26(3.13)

Schritt 6:

Durch Einsetzten von der Bandpass-Übertragungsfunktion (3.13) in Tiefpass-Übertragungsfunktion (3.11) und durch manche Umformungen bekommt man:

 

Unbenannt27(3.14)

Man kann immer noch Die Übertragungsfunktionen (3.12), (3.13) und (3.14) weiter vereinfachen. Sie enthalten alle den gleichen Bruch, den man als Hilfsfunktion Gs ersetzten kann. Die Hilfsfunktion soll auf den Standardform gebracht werden, um leicht die Eckfrequenz und Dämpfung erkennen zu können:

Standardform eines PT2-Gliedes:

Unbenannt13

Die Hilfsfunktion  Gs ist ein PT2-Glied:

Unbenannt28

Die Verstärkung V:

Unbenannt29

Die Eckfrequenz fg:

Unbenannt30

Dämpfung D:

Unbenannt31

Die endgültige Vereinfachung der Übertragungsfunktionen :

Unbenannt32

Zur Kontrolle meiner Herleitung habe ich einen Vergleich zwischen den Übertragungsfunktionen von Datenblatt und meiner Übertragungsfunktionen durchgeführt. Sie sind gleich, wurde festgestellt.

UAF42-Auswertung mittels MATLAB

Die Auswertung mit Matlab vereinfacht die Untersuchung des Systems, da der Filter sonst aus elektronischen Bauelementen aufgebaut und bei jeder strukturellen Veränderung die Hardware verändert werden soll, statt einfach ein paar Zahlen im Programmcode zu ändern.

Auch die Veranschaulichung der Eingangs- und Ausgangsgrößen ist einfacher. Die grafische Darstellung ersetzt Messgeräte, wie einen Oszillographen oder einen Frequenzanalysator.

Bei der Auswertung soll das UAF42-Filter für einen Frequenzbereich von 0Hz – 1KHz dimensioniert werden. Als nächstes werden alle Größen in der Grundeinheit definiert, weil Matlab keine Einheiten verarbeitet. Somit sind richtige Rechnungen gewährleistet. Dann werden alle drei Übertragungsfunktionen (3.12; 3.13; 3.14) gerechnet und in Bode-Diagramm geplotet.

Unbenannt33

Man sieht bereits auf dem Bild , dass die Übertragungsfunktionen (Hoch- , Tief- und Bandpass) die selbe Grenzfrequenz (circa 10 Hz) haben.

 

UAF42-Schaltungssimulation mittels LTspice XVII

Im Folgenden wird gezeigt, dass man mit einem zweiten Verfahren das Filter UAF42 simulieren kann, und zwar mit Hilfe von LTSpice. Hier sollen die Simulationserbnisse in LTspice identisch mit den Simulationsergebnissen in Maltlab sein.
LTSpice ist ein Elektroniksimulator, der von der Firma „Linear Technologies“ basierend auf Berkeley-Spice entwickelt wurde, in erster Linie gedacht um LT-Bausteine zu entwickeln und deren Verhalten zu simulieren, aber so allgemein gestaltet, dass es ohne weiteres mit dem Industrie-Standard PSpice kompatibel ist. LTSpice ist ein kostenloses Programm für jedermann.
Hier im LTSpice kann man nicht ohne Weiters die Übertragungsfunktionen des Filters UAF42 simulieren, sondern man benötigt eine Schaltung für die Simulation des UAF42 in LTSpice.

Man kann die Schaltung des Filters UAF42 in zwei Varianten in LTSpice aufbauen, einmal mit drei hintereinander geschalteten OPVs, Typ OP07 (Abb. 4) und einmal mit dem PSpiceModel vom UAF42 (Abb. 6), das im Internet zum Herunterladen vorhanden ist.

LTspice_1
Abbildung 4: 1.Variante Schaltungsentwurf des Filters UAF42 mit drei OPVs im LTSpice

Der Schaltplan (Abb. 4) wurde nach der UAF42-Schaltung (Abb. 1) im LTSpice aufgebaut. Die Schaltung enthält drei Ausgänge (Uhp, Ubp, Utp), die das Verhalten des UAF42-Filters beschreiben.

Die Simulation der Schaltung ist in diesem Fall nur möglich, wenn man zur der Schaltung noch eine Betriebsspannung für die Operationsverstärker (OPVs) schaltet. Dabei sind die drei Operationsverstärker (OPVs) mit einer Spannung von (+-15V) (Siehe grüner Kreis Abb. 4) betrieben. Am Eingang der Schaltung liegt eine Wechselspannung (Eingangssignal) mit 1V als Amplitude (Weißer Kreis Abb.4) an.

Damit die Simulation durchgeführt werden kann, gibt die Simulationsart ein (Roter Kreis Abb. 4), je nachdem in welchem Bereich der Schaltung simuliert werden soll. In folgenden Fall wurde die Simulation im Frequenzbereich durchgeführt.

Die Abb. 5 zeigt die Ergebnisse der Simulation:

Unbenannt34
Abbildung 5: Die Amplitudenkennlinie der 1.Variante:  Hochpass(Vu_hp), Bandpass(Vu_bp) und Tiefpass (Vu_tp) im LTSpice

In Abb.5 sind die drei Ausgänge der Schaltung (Hochpass (Vuhp), Bandpass (Vubp), Tiefpass (Vutp)) im Amplitudengang zu sehen. Bei -3dB ist die Eckfrequenz von ungefähr 10 Hz auszulesen.

Nun geht es um die 2.Variante zur Simulation des Filters. Das PSpise-Model von UAF42 ist in der Bauteile-Bibliothek des LTSpice-Programms nicht zu finden, daher muss man als erstes das Model in LTSpice einbinden.

Wenn man die Einbindung vom Modell UAF42 abgeschlossen hat, kann man die Schaltung in LTspice folgendes aufbauen:

LTspice_UAF42_Schaltung
Abbildung 6: 2.Variante Schaltungsentwurf des Filters UAF42 mit dem UAF42 PSpise-Model im LTSpice

Hier bei diesem Schaltungsentwurf soll besonders auf die Pin-Belegung geachtet werden, damit eine erfolgreiche und fehlerfreie Simulation erfolgt.
Die Kondensatoren C11 und C21 sind zu der Schaltung des UAF42s hinzugefügt (siehe Abb. 6), weil die Kondensatoren C1 und C2, die schon im UAF42-Filter montiert sind, sehr klein für unsere Anwendung sind. Der Kondensator C11 ist zu C1 parallel geschaltet und C22 zu C2

Die Ergebnisse der Simulation:

Unbenannt35
Abbildung 7: Die Amplitudenkennlinie der 2.Variante: Hochpass(Vu_hp), Bandpass(Vu_bp) und Tiefpass (Vu_tp) im LTSpice

Die 2.Variante der Schaltung mit dem Model UAF42 zeigt die gleichen Ergebnisse wie die 1.Variante (siehe Abb. 5 & Abb. 7). Da das Bauteil UAF42 ziemlich teuer ist (20Euro/Stück), wäre es besser die 1.Variante zum Aufbau eines Reglers zu nehmen, aber das könnte auch durch die Vielzahl an Bauteilen aufwendig sein.

Zusammenfassung

Wie man sieht, die Simulation mithilfe von Matlab und LTSpice vereinfacht die Untersuchung des Filters (UAF42) sehr und man spart viel Zeit bei der Charakterisierung des Filters. In Matlab und LTSpice wurde das Verhalten des Filters grafisch in Amplitude- und Phasenkennlinien genau veranschaulicht. Wenn man nun die Bode-Diagramme, die von Übertragungsfunktionen mit Matlab dargestellt worden sind, mit den Bode-Diagramen von Schaltungsausgänge von LTSpice vergleicht, stellt man fest, dass sie ähnliche Ergebnisse bzw. gleiche Simulationsergebnisse liefern. Die Stabilität des Filters könnte man sich in Matlab sowohl auch in LTSpice anschauen, aber in Malab geht es sehr einfacher. Die Stabilität eines Systems stellt sicher, dass bei beschränktem Eingangssignal auch das Ausgangssignal nicht über alle Grenzen anwächst.

Im folgenden Diagramm ( Tiefpass-Bode) sieht man welche Bauteile, die die Übertragungsfunktion verändern können.

Tiefpass

 

Wenn ihr Fragen zur Simulation oder Herleitung der Übertragungsfunktionen habt, schreibt das bitte in Kommentare und ich werde sie entsprechend beantworten. Auf eure Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge zu diesem Post würde ich mich sehr freuen.

Bei dem nächsten Post geht es um die Vermessung des UAF42-Filters.

Bleibt dabei und bis dahin.

 

 

 

 

 

 

 


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