Modellbildung LowCost-Aktorik – #1
Hallo OpenAdaptroniker,
in diesem Post werde ich mich wieder dem Thema der LowCost-Komponenten in der Aktorik unseres aktiven Schwingungsreduktionssystems widmen.
Bisher wurden die einzelnen Komponenten für die Aktorik – Aktor und Leistungsverstärker – von mir weitestgehend separat untersucht und charakterisiert. Der nächste Schritt ist nun, beide zusammenzubringen. Dadurch wird eine Eigenschaft dieses Systems nicht mehr wie bisher außer Betracht gelassen: Die Wechselwirkung zwischen Tiefpass am Ausgang des Leistungsverstärkers – bestehend aus einer Induktivität und einer Kapazität – und der reaktiven Last, dem Inertialmassen-Aktor.
In meinem letzten Post zum Thema LowCost-Leistungsverstärker (#4) bin ich auf diesen Aspekt bereits kurz eingegangen.
Die Grundlage des bisherigen Simulationsmodells ist in dem folgenden Schaltbild dargestellt:
Hierbei wird lediglich die simulierte Ausgangsspannung am Tiefpass-Ausgang des Leistungsverstärkers an das Simulationsmodell des Aktors weitergegeben. Das elektrische Verhalten des Aktors hat keinen Einfluss auf das Verhalten des Leistungsverstärkers und andersherum.
Die Grundlage des neuen Simulationsmodells zeigt das folgende Schaltbild:
Die Simulationsmodelle von Aktor und Leistungsverstärker sind jetzt direkt gekoppelt und können so auch die Wechselwirkung zwischen beiden – in Form von Blindströmen im Ausgangskreis durch die Aktorinduktivität – darstellen.
Anders als zuvor beschreibe ich das System nicht mehr durch einzelne Übertragungsfunktionen, sondern mit Hilfe der Zustandsraumdarstellung (State-space representation). Mit ihr kann ein gesamtes System kompakt beschrieben und beliebige Zustände des Systems – wie in diesem Falle verschiedene Ströme, Spannungen, Auslenkungen oder Geschwindigkeiten – ausgegeben werden.
Der Zustandsraumdarstellung liegen zwei Gleichungen zugrunde; die Zustands- und die Beobachtungsmatrix:
[latex]
\dot{z}=A\cdot z+B\cdot u
\qquad
y=C\cdot z+D\cdot u
[/latex]
Der Eingang [latex]u[/latex] des Systems ist in diesem Fall die Spannung hinter der H-Brücke des Class-D-Leistungsverstärkers [latex]u_{HB}[/latex]. Der Ausgang [latex]y[/latex] kann mit der Wahl der Ausgangsmatrix [latex]C[/latex] definiert werden.
Die verschiedenen, voneinander abhängigen Zustände im System sind im Zustandsvektor [latex]z[/latex] zusammengefasst:
[latex]
z=
\begin{bmatrix}
i_{L_{TP}} \\
i_{ima} \\
u_C \\
x \\
\dot{x}
\end{bmatrix}
[/latex]
Für das oben dargestellte System ergeben sich die Systemmatrix [latex]A[/latex], Eingangsmatrix [latex]B[/latex], Ausgangsmatrix [latex]C[/latex] und Durchgangsmatrix [latex]D[/latex]:
[latex]
A=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & -\frac{1}{L_{TP}} & 0 & 0 \\
0 & -\frac{R}{L_{ima}} & \frac{1}{L_{ima}} & 0 & -\frac{\Psi}{L_{ima}} \\
\frac{1}{C} & -\frac{1}{C} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & \frac{\Psi}{m} & 0 & -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m}
\end{bmatrix}
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{L_{TP}} \\
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\qquad
C=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\qquad
D=
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
[/latex]
Die Ausgangsmatrix ist so gewählt, dass eine Komponente des Ausgangs der Strom durch den Aktor [latex]i_{ima}[/latex] und eine Komponente die Spannung über dem Kondensator, also die Spannung am Ausgang des Verstärkers, ist.
Für den Fall, dass eine rein ohm’sche Last angeschlossen wird, ergibt sich für die Zustandsraumdarstellung:
[latex]
z=
\begin{bmatrix}
i_{L_{TP}} \\
i_{Last} \\
u_C
\end{bmatrix}
[/latex]
[latex]
A=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & -\frac{1}{L_{TP}} \\
\frac{1}{C\cdot R} & -\frac{1}{C\cdot R} & 0 \\
\frac{1}{C} & -\frac{1}{C} & 0
\end{bmatrix}
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{L_{TP}} \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\qquad
C=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\qquad
D=
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
[/latex]
Im Falle einer rein ohm’schen Last müssten [latex]i_{Last}[/latex] und [latex]u_C[/latex] nicht beide in das Modell eingehen, da sie über [latex]R[/latex] direkt linear abhängig sind. Es dient hier lediglich der Übersichtlichkeit in der Auswertung.
Für das neue Simulationsmodell des direkt gekoppelten Systems ergibt sich das folgende Übertragungsverhalten:
Vergleich mit den Messergebnissen:
Für die bessere Vergleichbarkeit durchlaufen die Simulationsergebnisse wieder dieselbe Auswertungsmethode wie die Messergebnisse.
Die elektrische Resonanz zwischen Aktor und Leistungsverstärker ist nun auch in der Simulation deutlich zu erkennen. Allerdings fällt sie in der Simulation deutlich stärker aus als in den Messergebnissen.
Woher das kommt und warum das Übertragungsverhalten zwischen [latex]u_{HB}[/latex] und [latex]i_{ima}[/latex] nun etwas abweicht, kann ich hoffentlich im nächsten Post offen legen. Außerdem werde ich versuchen, vermehrt einzelne Bauelemente in das Simulationsmodell eingehen lassen.
Bis dahin viel Spaß beim Basteln!
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