Entwicklung eines Demonstrators zur aktiven Schwingungsdämpfung #Post_3

Grundlagen zur Simulation von Feder-Masse-Systemen in Scilab

Der nächste Schritt ist der Aufbau eines Simulationsmodells in „Scilab“. Dabei handelt es sich um ein Programm, dass von den Basisfunktionen und dem Aufbau ähnlich zu MatLab/Simulink ist. Ein Post zu diesem Programm ist hier zu finden.

Zunächst übersetzen wir den Demonstrator in ein Simulationsmodell. Wir bauen das Modell mit einem Krafteingang und einem Geschwindigkeitsausgang auf (Admittanzformulierung).

Grundsätzlich besteht der gesamte Demonstrator aus drei unterschiedlichen Elementen: Massen, Feder-Dämpfer-Elemente und Aktoren. Diese drei Elemente definieren wir zunächst wie folgt:

 

Fangen wir mit einer einfachen Masse an.
Auf eine Masse in der Simulation wirkt eine Kraft F und als Resultat erfährt sie eine Geschwindigkeit v.

Zu sehen ist der Block einer Masse. Als Eingang dient eine Kraft F und als Ausgang eine Geschwindigkeit v.

Generell ergibt sich die Beschleunigung a einer Masse m, auf die eine Kraft wirkt, durch [latex]a(t) =\frac{F (t)}{m} [/latex](vgl. F=m*a). Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit t. Umgekehrt erhält man somit durch Integration der Kraft über die Zeit die Geschwindigkeit: [latex]v (t)=\int \frac{F(t)}{m} dt [/latex]

Setzt man dies in der Simulation um, so ergibt sich folgendes Bild:

Zu sehen ist der Aufbau einer einfachen Masse. Die eingehende Kraft wird zunächst durch einen Verstärker (gain) durch das Gewicht der Masse geteilt und anschließend mit einem Integrator (integral) integriert. Das Ergebnis ist die Geschwindigkeit der Masse.

 

Als nächstes schauen wir uns ein Feder-Dämpfungs-Element an. Es bildet das Verbindungsstück zwischen den einzelnen Massen untereinander.
Generell besteht ein Feder-Dämpfungs-Element aus einer Federsteifigkeit D und einem Dämpfungskoeffizienten K. Die Kraftgleichung einer gedämpften Feder lautet: [latex] F (v(t)) = K \cdot v(t) + D \cdot a(t) = K \cdot v(t) + D \cdot \int v(t) dt [/latex].

Setzt man diese Gleichung in der Simulation um, so ergibt sich folgendes Bild:

Zu sehen ist der Aufbau eines Feder-Dämpfungs-Elementes. Die Geschwindigkeit, die auf die Feder wirkt, wird einmal mit der Dämpfung K multipliziert und einmal integriert und mit der Federsteifigkeit D multipliziert. Diese beiden Kräfte ergeben in der Summe die Ausgangskraft des Feder-Dämpfungs-System.

Da die Feder aber als Verbindungsstück dient, benötigt sie zwei Ein- und Ausgänge:

Zu sehen ist der Block des Feder-Dämpfungs-Elements. Es besitzt zwei Geschwindigkeiten als Eingang und zwei Kräfte als Ausgang.

Die beiden Geschwindigkeiten sind entgegengesetzt und wegen der Energieerhaltung müssen die Kräfte der beiden Ausgänge auch entgegengesetzt sein. Aus diesem Grund wird zunächst vom Eingang die Differenz gebildet und der untere Ausgang F2 mit dem Faktor (-1) multipliziert. Das Ergebnis sieht dann wie folgt aus:

Zu sehen ist die Erweiterung des oben gezeigten Feder-Dämpfungs-Elementes um zwei Ein- und Ausgänge. Zunächst wird die Differenz der Geschwindigkeiten gebildet. Anschließend wird wie oben gezeigt die Kraft berechnet. Zum Schluss wird der untere Ausgang noch invertiert. 

 

Der letzte fehlende Block ist der Aktor. Verwendet werden im Demonstrator elektrodynamische Aktoren, die eigentlich ein Frequenzverhalten besitzen. Da wir uns hier nur mit einem einfachen Modell befassen und uns im niedrigen Frequenzbereich befinden, wo frequenzabhängige Effekte kaum auftauchen, ist ein einfaches Aktormodell zunächst ausreichend.

Ein einfacher Aktor besteht aus einem Feder-Dämpfungs-Element und einer zusätzlichen Verstärkung, die sich über einen Kopplungsfaktor beschreiben lässt.

Zu sehen ist der Block des einfachen Aktors. Als Eingang besitzt er zwei Geschwindigkeiten und eine Steuerspannung U. Die Ausgänge sind zwei Kräfte.

Die Kraftgleichung des Aktors ergibt sich aus der Kraftgleichung der Feder und dem Produkt aus dem Kopplungsfaktor C mit der Steuerspannung U. Das Ergebnis in der Simulation sieht dann wie folgt aus:

Zu sehen ist der Aufbau eines einfachen Aktors. Er besteht im Grunde aus einem Feder-Dämpfungs-System und bringt zusätzlich noch eine Kraft in das System. Diese zusätzliche Kraft lässt sich über die Steuerspannung multipliziert mit dem Kopplungsfaktor C berechnen.

 

Jetzt haben wir die notwendigen Blöcke für die Simulation. Wie man sie richtig miteinander verbindet, wird im Folgenden kurz dargestellt.

Ein einfaches Feder-Masse-System besteht aus einer Feder und einer Masse. Aufgebaut mit unseren Blöcken ergibt sich folgendes Bild:

Zu sehen ist der grundsätzliche Aufbau eines Feder-Masse-Systems mit unseren eben erstellen Blöcken. Es besteht aus einer Masse, einer Feder und einer Grundplatte, auf der die Feder angebracht ist. Die Grundplatte wird durch eine Null am unteren Eingang gebildet.

Verwendet man jetzt mehrere Elemente, die mit der Masse verbunden sind, überlagern sich die einzelnen Größen. In der Simulation wird dies durch Summieren realisiert. Als Beispiel hierfür ist ein Feder-Masse-System gezeigt, wo die Masse mit zwei parallelen Federn gelagert ist und aktiv über einen Aktor angeregt wird:

Zu sehen ist der Aufbau eines zwei Feder-Masse-Systems mit aktiver Anregung der Masse durch einen Aktor. Angeregt wird das System  über ein Anregungssignal, dass über einen Verstärker auf den Aktor gegeben wird. Der Aktor ist wie die beiden Federn an der Grundplatte befestigt.

Nun sind der Aufbau und die Handhabung der Blöcke klar. Damit dieser Post nicht zu umfangreich wird, folgt die Ermittlung der benötigten Parameter und der Aufbau des Simulationsmodells des Demonstrators im nächsten Post.

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